Здравствуйте, помогите решить интеграл. ответ должен получится: 2/3

Ответ

Автор - ArtemCoolAc

Ответ:

Как ни странно, ответ здесь действительно 2/3

Объяснение:

Я надеюсь, z здесь никак не связано с комплексными числами. Решаем все это добро на множестве действительных чисел (мне несколько удобнее записывать через x, поэтому буду через х записывать. Думаю, переписать решение, заменив везде x на z, не проблема.)

$intlimits^frac{pi }{2} _0 {sqrt{cosx(1-cos^2x)} } , dx =intlimits^frac{pi }{2} _0 {sqrt{cosx*sin^2x} } , dx = intlimits^frac{pi }{2} _0 |sinx|{sqrt{cosx} } , dx$

Теперь учтем, что пределы интегрирования предполагают, что в этом промежутке синус неотрицателен, а значит, его можно раскрыть со знаком "+".

$intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } , dx$

Встает вопрос, что делать с этим интегралом. Попробуем интегрировать по частям. Для этого корень будем дифференцировать, а синус интегрировать. $intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } , dx = -cosxsqrt{cosx} - intlimits^frac{pi }{2} _0 {frac{sinxcosx}{2sqrt{cosx} } } , dx=-cosxsqrt{cosx}-frac{1}{2} intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } , dx$

Если не очень понятно про интегрирование по частям, почитай про него. Здесь важно, что: $(sqrt{cosx})' = frac{1}{2sqrt{cosx} }*(-sinx)$ , и что $intlimits^a_b {sinx} , dx = -cosx$ (без подстановок и прочего) а потом лишь перемножения и вычитание.

Вернемся к интегралу. Занятно получилось, что в выражении спрятано некоторое уравнение относительно как раз нашего интеграла:

$intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } dx = -cosxsqrt{cosx} -frac{1}{2} intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } dx$

Это вообще прекрасно, потому что мы уже фактически нашли наш интеграл:

$frac{3}{2} intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } dx = -cosxsqrt{cosx}; intlimits^frac{pi }{2} _0 sinx{sqrt{cosx} } dx = -frac{2}{3}cosxsqrt{cosx}$

Естественно, подразумевается, что значение справа вычисляется по двойной подстановке с теми пределами, которые у нас есть.

$-frac{2}{3}(cosfrac{pi }{2}sqrt{cosfrac{pi }{2} }-cos0sqrt{cos0})=-frac{2}{3}(0-1)=frac{2}{3}$

Вот и получили наш ответ.

Здравствуйте, помогите решить интеграл. Ответ должен получится: 2/3

Ответ

Ответы и объяснения