Помогите с дифференциальным уравнением

Ответ

Автор - Liamus

Исспользуем подстановку:

$z(y)=y'$

Тогда получим:

$y''=frac{d}{dx}(z(y))=z'(y)cdot y'(x)=zz'$

и уравнение запишется в виде:

$zz'=ze^y;\z'=e^yRightarrow z=e^y+C_1;\y'=e^y+C_1Rightarrow intfrac{dy}{e^y+C_1}=int dx;\frac{1}{C_1}lnleft|frac{e^y}{e^y+C_1}right|=x+CRightarrow frac{e^y}{e^y+C_1}=C_2e^{C_1x}Rightarrow e^y=frac{C_1C_2e^{C_1x}}{1-C_2e^{C_1x}}\y=lnleft(frac{C_1C_2e^{C_1x}}{1-C_2e^{C_1x}}right).$

Данное дифференциальное уравнение также будет иметь особое решение:

$y=C=const$

Чтобы найти решение данной задачи Коши, нужно подставить в равенства

$y'=e^y+C_1$

$frac{1}{C_1}lnleft|frac{e^y}{e^y+C_1}right|=x+C$

соответствующие начальные условия.

Помогите с дифференциальным уравнением​

Ответ

Помогите с дифференциальным уравнением