В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC и AC и высотой AB диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу . Известно отношение оснований BC : AD = m : n . Найдите отношение длин диагоналей AC : BD .

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC и AD и высотой AB диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу . Известно отношение оснований BC : AD = m : n . Найдите отношение длин диагоналей AC : BD.

Решение:

Пусть BC = mx и AD = nx. Из вершины С проведём прямую параллельной диагонали BD до пересечения прямой на продолжении основания AD, AC ⊥ CE.

$AE=AD+DE=nx+mx=x(n+m)\ FE=AD=nx\ AF=BC=mx$

Из вершины угла С проведем высоту CF.

Из прямоугольного треугольника ACE, каждый катет есть среднее пропорциональное между проекцией катета и гипотенузой:

$AC=sqrt{AFcdot AE}=sqrt{mxcdot x(n+m)}=xsqrt{m(n+m)}\ CE=BD=sqrt{FEcdot AE}=sqrt{nxcdot x(n+m)}=xsqrt{n(n+m)}$

Следовательно, $dfrac{AC}{BD}=dfrac{xsqrt{m(n+m)}}{xsqrt{n(n+m)}}=sqrt{dfrac{m}{n}}$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - xERISx

Дано : ABCD - трапеция, BC║AD, AB⊥BC, AC⊥BD, $dfrac {BC}{AD}=dfrac mn$

Найти AC : BD - ?

ΔBOC ~ ΔAOD по двум равным углам :

∠BOC = ∠AOD = 90° по условию

∠BCO = ∠DAO - накрест лежащие углы при BC║AD и секущей AC

⇒ $dfrac{CO}{AO}=dfrac{BO}{DO}=dfrac {BC}{AD}=dfrac mn$

Пусть CO = mx, AO = nx, BO = my, DO = ny

ΔABC - прямоугольный, BO⊥AC по условию

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.

$BO^2=AOcdot CO~~Rightarrow~~(my)^2=nxcdot mx~~Rightarrow~~m^2y^2=nmx^2\\dfrac{x^2}{y^2}=dfrac{m^2}{nm}=dfrac mn~~~Rightarrow~~~boldsymbol{dfrac xy=sqrt{dfrac mn}}$

$dfrac{AC}{BD}=dfrac{AO+CO}{DO+BO}=dfrac{nx+mx}{ny+my}=dfrac{x(n+m)}{y(n+m)}=dfrac xy=sqrt{dfrac mn}\\boxed{boldsymbol{dfrac{AC}{BD}=sqrt{dfrac mn}}}$