13. n, ae n78!+ 79! = a * 10^n max(n) = ?a) 15 b) 16 c) 17 d) 18e) 19

Ответ

Автор - Senpai908

$78!+79!=78!+78!cdot 79=78!(1+79)=78!cdot 80$

По свойству степеней $10^n=(2cdot 5)^n=2^ncdot 5^n$ и 2,5, - простые.

Подсчитаем сколько раз входит число 2 в факториал 78

$S=[dfrac{78}{2}]+[dfrac{78}{4}]+[dfrac{78}{8}]+[dfrac{78}{16}]+[dfrac{78}{32}]+[dfrac{78}{64}]=39+19+9+4+2+1=74$

То есть, в числе 78! двойка встречается 74 раза.

Подсчитаем сколько раз входит число 5 в факториал 78

$S=[dfrac{78}{5}]+[dfrac{78}{25}]=15+3=18$

В числе 78! пятерка встречается 18 раз.

Таким образом, $78!cdot 80=5^{18}cdot 2^{74}cdot Acdot 8cdot 10=10^{19}cdot A$

$max (n)=19$ — ответ