98 БАЛЛОВ! Заранее спасибо решившему задачу!
Студенты 5 раз сдавали зачет (не сумевшие сдать зачет приходили на следующий день). Каждый раз успешно сдавала зачет треть всех пришедших студентов и еще треть студента. Каково наименьшее возможное число студентов, так и не сдавших зачет? Сколько вообще могло быть студентов?

Ответ:

Наименьшее возможное число студентов, так и не сдавших зачет - 32 человека. При этом, первоначально было 242 студента.

Пошаговое объяснение:

Из условия следует, что каждый раз на зачет приходит такое количество студентов, что если к нему добавить еще одного студента, то полученное число делится на три. Тогда:

1 зачет – пришло число студентов А

2 зачет – пришло студентов В, где В связано с А уравнением: В+1 = (2/3) (А+1)

3 зачет – пришло студентов С, где С связано с В уравнением: С+ 1= (2/3)(В+1)

4 зачет – пришло студентов D, где D связано с С уравнением: D+1  = (2/3) (С+1)

5 зачет – пришло  студентов Е, где Е связано с D уравнением: E+1 = (2/3) (D+1)

Осталось после 5 подхода студентов F, где F связано с D уравнением F+1= (2/3) (E+1)

Преобразовываем уравнения к виду:

A+1 = (3/2) (B+1) (1)

B+1 = (3/2) (C+1)  (2)

C+1 = (3/2) (D+1) (3)

D+1= (3/2) (E+1) (4)

Е+1 = (3/2) (F+1) (5)

И подставляем последовательно уравнения друг в друга, начиная с уравнения (5), получаем:

А+1 = (3/2)^5*(F+1).

Отсюда: А = (243/32)(F+1) – 1 (6)

Уравнение (6) связывает число студентов пришедших на зачет в первый раз (А) с числом студентов, оставшихся после 5 пересдачи (F). Из уравнения (6) видно, что первое целочисленное значение А будет при (F+1) = 32, т.е.

F = 31 и А = 242

В более общем случае можно видеть, что для к подходов для сдачи зачета ответ будет: А=(3/2)^к * (Aк+1) – 1 (для 5 пересдач в нашей задаче, Ак = F и к=5)

Например, для 6 пересдач получим А=(729/64)(А6+1) – 1 и, таким образом А6=63 и А=728.