Основание пирамиды совпадает с одной из граней куба, а вершина – с центром противоположной грани. Найдите угол между соседними боковыми гранями пирамиды.

Из задания выходит, что задана правильная четырёхугольная пирамида SАВСД,  высота SO которой равна ребру "a". Точка О - центр основания (точка пересечения его диагоналей).

Пусть длина ребра основания а = 1, диагональ основания d = √2.

Для определения угла между смежными боковыми гранями проведём сечение через диагональ ВД основания перпендикулярно боковому ребру .  Получим равнобедренный треугольник ВКД, угол К которого равен углу между боковыми гранями.

Высоту из вершины К этого треугольника найдём как высоту h из вершины прямого угла в треугольнике SOД. Для этого найдём длину бокового ребра SД:

SД = √(1² + (√2/2)²) = √(1 + (2/4)) = √(3/2).

h = (1*(√2/2)/√(3/2) = 1/√3.

Теперь можно получить ответ:

угол ВКД = 2arc tg((d/2)/h) = 2arc tg((√2/2)/(1/√3)) = 2arc tg√(3/2) =

                 = 2*50,76848 = 101,537 градуса.