Здравствуйте, попалось такое тригонометрическое уравнение: $cos2x+3sinx=2$ . Я его решил и получил корни: 1, 0.5. Необходимо теперь определить, сколько корней входит в промежуток $[-frac{pi }{2};frac{pi }{2}]$ , а также определить наименьший корень в градусах и наибольший. Правильно ли я понимаю, что входят три корня: $frac{pi }{2}, -frac{pi }{2} , frac{pi }{6}$ , наименьший равен -90°, а наибольший равен 90°? Спасибо за помощь!

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

$cos 2x+3sin x=2\ \ 1-2sin^2x+3sin x=2\ \ 2sin^2x-3sin x+1=0$

Пусть $sin x=t$ , причем $|t|leq 1$ , мы получим

$2t^2-3t+1=0\ \ 2t^2-2t-t+1=0\ \ 2t(t-1)-(t-1)=0\ \ (t-1)(2t-1)=0\ \ t_1=1;~~~ t_2=dfrac{1}{2}$

Выполним обратную замену

$left[begin{array}{ccc}sin x=1\ \ sin x =dfrac{1}{2}end{array}right~~~Rightarrow~~~left[begin{array}{ccc}x_1=dfrac{pi}{2}+2pi k,k in mathbb{Z}\ \ x_2=(-1)^kcdot dfrac{pi}{6}+pi k,k in mathbb{Z}end{array}right$

Отбор корней

Для корня $x=dfrac{pi}{2}+2pi k,k in mathbb{Z}$

k = 0; x = π/2

Для корня $x=(-1)^kcdotdfrac{pi}{6}+pi k,k in mathbb{Z}$

k = 0: x = π/6

Количество корней: 2. Наибольший корень 90°, а наименьший: 30°.

Предыдущий вопрос Следующий вопрос

Ответы и объяснения

Сервис носит ознакомительный характер, вся информация, а в частности вопросы и ответы, которые задают и отвечают пользователи.