Найти неопределенные интегралы от рациональных дробей

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

$1); ; int frac{(x+2), dx}{x^3-2x^2+2x}=int frac{(x+2), dx}{x, (x^2-2x+2)}=I\\frac{x+2}{x, (x^2-2x+2)}=frac{A}{x}+frac{Bx+C}{x^2-2x+2}=frac{A(x^2-2x+2)+(Bx+C), x}{x, (x^2-2x+2)}\\x+2=Ax^2-2Ax+2A+Bx^2+Cx\\x=0:; ; 2=2A; ,; ; A=1; ,\\x^2; |; 0=A+B; ; ,; ; B=-A; ; ,; ; B=-1\\x; |; 1=C-2A; ,; ; C=1+2A=1+2=3\\I=int frac{dx}{x}+int frac{(-x+3), dx}{x^2-2x+2}=int frac{dx}{x}+int frac{(3-x), dx}{(x-1)^2+1}=[; t=x-1; ,; dx=dt; ]=$

$=ln|x|+int frac{(-t+2), dt}{t^2+1}=ln|x|-frac{1}{2}int frac{2t, dt}{t^2+1}+2int frac{dt}{t^2+1}=\\=ln|x|-frac{1}{2}cdot ln|t^2+1|+2cdot arctgt+C=\\=ln|x|-frac{1}{2}cdot ln|x^2-2x+2|+2cdot arctg(x-1)+C; .$

$2); ; int frac{(x^3+3x^2+5x+7), dx}{x^2+2}=int (x+3+frac{3x+1}{x^2+2}), dx=\\=int (x+3), dx+frac{3}{2}int frac{2x, dx}{x^2+2}+int frac{dx}{x^2+2}=\\=frac{(x+3)^2}{2}+frac{3}{2}cdot ln|x^2+2|+frac{1}{sqrt2}cdot arctgfrac{x}{sqrt2}+C$