В треугольнике ABC ∠ A = 3 ∠ C. Точка D на стороне BC обладает тем свойством, что ∠ ADC = 2 ∠ C.
Доказать, что AB + AD = BC.

Ответ:

Для простоты решения продолжи отрезок BA за точку A и отложи на нем отрезок AE = AD.  

∠ EAC = 180 – ∠ BAC = 180 – 3 ∠ C, поэтому треугольники ADC и AEC равны (по первому признаку равенства треугольника: сторонам AC, AD = AE и углу между ними).

Отсюда находим углы треугольника AEC:

∠ AEC = ∠ ADC = 2 ∠ C, ∠ ACE = ∠ C, т. е. ∠ BCE = 2 ∠ C, поэтому треугольник BEC равнобедренный.  

Таким образом, AB + AD = AB + AE = BE = BC.