Решите в целых числах уравнение x²-xy-2y²=7

Ответ

Автор - genius20

$x^2-xy-2y^2=x^2-y^2-xy-y^2=(x-y)(x+y)-y(x+y)=\=(x+y)(x-y-y)=(x+y)(x-2y)$

Мы разложили левую часть на два множителя. Число 7 — простое, поэтому оно может раскладываться ровно на две пары целых множителей: (1; 7) и (–1, –7). Тогда получим четыре системы:

Первая система:

$begin{cases}x+y=1\x-2y=7 end{cases}\begin{cases} x=1-y\1-y-2y=7end{cases}\-3y=6\y=-2\x=1-y=3$

Вторая система:

$begin{cases}x+y=7\x-2y=1end{cases}\begin{cases}x=7-y\7-y-2y=1end{cases}\-3y=-6\y=2\x=7-y=5$

Третья система:

$begin{cases}x+y=-1\x-2y=-7end{cases}\begin{cases}x=-1-y\-1-y-2y=-7end{cases}\1+y+2y=7\3y=6\y=2\x=-1-y=-3$

Четвёртая система:

$begin{cases}x+y=-7 \ x-2y=-1end{cases}\begin{cases}x=-7-y \ -7-y-2y=-1end{cases}\7+y+2y=1\3y=-6\y=-2\x=-7-y=-5$

Ответ: (3; –2), (–3; 2), (5; 2), (–5; –2).

P. S. Третью и четвёртую систему можно было бы не расписывать, если заметить, что при одновременной замене $x rightarrow -x$ и $y rightarrow -y$ значение выражения $x^2-xy-2y^2$ не изменится. Это означает, что если (x; y) является решением, то (–x; –y) тоже является решением.

решите в целых числах уравнение
x²-xy-2y²=7

Ответ

Ответы и объяснения

решите в целых числах уравнение x²-xy-2y²=7​

Ответ

решите в целых числах уравнение
x²-xy-2y²=7