∛(2+√5) + ∛(2-√5) обчислити

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Пусть $sqrt[3]{2+sqrt{5}}=a;~~ sqrt[3]{2-sqrt{5}}=b$ . Возведя обе части равенства до куба, получаем $2+sqrt{5}=a^3;~ 2-sqrt{5}=b^3$ - сложив эти последние два равенства, имеем

$a^3+b^3=4\ \ (a+b)(a^2-ab+b^2)=4\ \ (a+b)^3-3ab(a+b)=4$

Подсчитав $ab=sqrt[3]{(2+sqrt{5})cdot (2-sqrt{5})}=sqrt[3]{4-5}=-1$ , получаем

$(a+b)^3+3(a+b)=4$

Выполним замену $a+b=t$ , получаем $t^3+3t=4$ . Далее это уравнение можно решить проще простого графическим способом. Функция стоящая в левой части уравнения $f(t)=t^3+3t$ является возрастающей, как сумма двух возрастающих функций и эта функция с прямой f(t) = 4 имеет одно пересечение. Путём подбора находим корень t = 1, следовательно, a + b = 1 а это ничто иное как $sqrt[3]{2+sqrt{5}}+sqrt[3]{2-sqrt{5}}=1$

Ответ: 1.

Есть и другой способ решения:

$sqrt[3]{2+sqrt{5}}+sqrt[3]{2-sqrt{5}}=sqrt[3]{(0.5+0.5sqrt{5})^3}+sqrt[3]{(0.5-0.5sqrt{5})^3}=\ \ \ =0.5+0.5sqrt{5}+0.5-0.5sqrt{5}=1$