Существует бесконечно множество квадратов выражения форм 50^m- 50^n, но не одного квадрата выражения 2020^m+2020^n;
При этом m и n позитивные числа.
Докажите, что это правда.

Ответ

Автор - igorShap

1) Существует бесконечно много квадратов натуральных чисел, представимых в виде $50^m- 50^n,: m,nin N$ .

Для доказательства этого факта достаточно взять $m=2k+1,: n=2k, : kin N$ . И правда: $50^m- 50^n=50^{2k+1}-50^{2k}=(50-1)50^{2k}=49*(50^k)^2=(7*50^k)^2$

2) Не существует квадратов натуральных чисел, представимых в виде $2020^m+2020^n$ .

Для этого рассмотрим остаток от деления выражения на 3: $2020^m+2020^n=(673*3+1)^m+(673*3+1)^nequiv 1^m+1^n(mod:3)=1+1=2$

С другой стороны, квадрат натурального числа может давать остатки 1 или 0 при делении на 3. И правда: $x=3s=>x^2=9s^2equiv0(mod:3)\ x=3s+1=>x^2=9s^2+6s+1equiv1(mod:3)\ x=3s+2=>x^2=9s^2+12s+4equiv4(mod:3)equiv1(mod:3)$

Противоречие.

Ч.т.д.

Использованы свойства сравнения чисел по модулю

Существует бесконечно множество квадратов выражения форм 50^m- 50^n, но не одного квадрата выражения 2020^m+2020^n; При этом m и n позитивные числа. Докажите, что это правда.

Ответ

Существует бесконечно множество квадратов выражения форм 50^m- 50^n, но не одного квадрата выражения 2020^m+2020^n;
При этом m и n позитивные числа.
Докажите, что это правда.