Дана интегральная функция распределения случайной величины Х. Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X).

Ответ: 1) f(x)=0, если x<0; 3*x², если 0≤x≤1; 0, если x>1; 2) M[X]=3/4; 3)D[X]=0,0375; 4) σ{X]≈0,194.

Пошаговое объяснение:

Дифференциальная функция распределения f(x)=F'(x) равна:

0, если x<0,

3*x², если 0≤x≤1,

0, если x>1

Математическое ожидание M[X]=∫x*f(x)*dx с пределами интегрирования от -∞ до ∞. Но так как в данном случае f(x) не равна нулю лишь в интервале [0;1], то пределами интегрирования будут 0 и 1. Тогда M[X]=∫x*3*x²*dx=3*x⁴/4 (0,1)=3/4.

Дисперсия D[X}=∫(x-M[X])²*f(x)*dx с пределами интегрирования от -∞ до ∞. Однако согласно изложенному выше пределами интегрирования будут 0 и 1. Тогда D[X]=∫(x-3/4)²3*x²*dx=∫(3*x⁴-9/2*x³+27/16*x²)*dx=3/5*x⁵-9/8*x⁴+9/16*x³ (0,1)=3/80=0,0375

Среднее квадратическое отклонение σ[X]=√D[X]=√0,0375≈0,194