Нужно сравните числа. — вопрос №1288534

Ответ

Проверено экспертом

Автор - hote

Для начала заметим что числа а и в положительны, т.к. являются квадратами ctg.

Чтобы сравнить два положительных числа оценим их разность а-в

если а-в>0, то а>в

если а-в<0, то а<в

если а-в=0, то а=в

Что нам понадобится:

формула разности и суммы ctg

$displaystyle ctgx-ctgy=-frac{sin(x-y)}{sinx*siny}\\ctgx+ctgy=frac{sin(x+y)}{sinx*siny}$

так же сумма и разность логарифмов (формула в общем виде)

$displaystyle log_nm+log_nk=log_n(m*k)\\log_nm-log_nk=log_nfrac{m}{k}$

теперь для упрощения преобразований я введу два угла

$displaystyle x=lg(2+sqrt{3}); y=lg(2-sqrt{3})$

теперь решение

$displaystyle a-b=ctg^2x-ctg^2y=(ctgx-ctgy)(ctgx+ctgy)=\\=-frac{sin(x-y)}{sinx*siny}*frac{sin(x+y)}{sinx*siny}=-frac{sin(x-y)*sin(x+y)}{sin^2x*sin^2y}$

заметим что в знаменателе стоят положительные числа не равные нулю

вычислим синус разности и суммы углов

$displaystyle sin(x-y)=sin(lg(2+sqrt{3})-lg(2-sqrt{3}))=sin(lgfrac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}})=\\=sin(lg(frac{(2+sqrt{3})^2}{4-3}))=sin(lg(2+sqrt{3})^2)\\sin(x+y)=sin(lg(2+sqrt{3})+lg(2-sqrt{3}))=sin(lg(2^2-sqrt{3}^2)=\\=sin(lg(4-3))=sin(lg1)=sin0=0$

подставим в нашу разность чисел

$displaystyle a-b=-frac{sin(x-y)*sin(x+y)}{sin^2x*sin^2y}=-frac{sin(lg(2+sqrt{3})^2)*0}{sin^2(lg(2+sqrt{3}))*sin^2(lg(2-sqrt{3}))}=0$

Разность равна нулю, значит данные числа равны!

****************

можно проще

рассмотрим число а

$displaystyle a=ctg^2(lg(2+sqrt{3}))=ctg^2(lgfrac{(2+sqrt{3})*(2-sqrt{3})}{2-sqrt{3}}))=ctg^2(lg(frac{1}{2-sqrt{3}}))=\\=ctg^2(lg(2-sqrt{3})^{-1})=(ctg(-lg(2-sqrt{3}))^2=(-ctg(lg(2-sqrt{3}))^2=\\=ctg^2(lg(2-sqrt{3}))=b$

числа а и в равны