Написать уравнение высоты и найти длину высоты треугольника, выходящей через точку А.
А(8,3) В(7,-2) С(-7,2)

Даны координаты вершин А(8; 3) В(7; -2) С(-7; 2)

Уравнение высоты АН и её длина.

Находим уравнение стороны BC.

Находим векторы ВС:

ВС =  (-7-7=-14; 2-(-2)=4) = (-14; 4). Модуль равен √(196 + 16) = √212.

Получаем уравнение стороны ВС:

ВС: (х - 7)/(-14) = (у + 2)/4, сократим на 2: (х - 7)/(-7) = (у + 2)/2.

2х - 14 = -7у - 14,

2х + 7у = 0,

у = (-2/7)х.

Находим площадь треугольника по формуле:

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)|.

Подставив координаты точек, получаем

S = (1/2)*|((7-8)*(2-3) - (-7-8)*(-2-3))| = (1/2)*|(1 - 75)|= 74/2 = 37 кв.ед.      

Длина AH = 2S/BC = 2*37/√212 ≈ 5,08234.

Переходим к уравнению высоты.

k(АН) = -1/k(ВС) = -1/(-2/7) = 7/2 = 3,5.

Уравнение: у = 3,5х + в. Подставим координаты точки А.

3 = 3,5*8 + в, отсюда в  = 3 - 28 = -25.

Уравнение АН: y = 3,5x -25,

или 7х - 2y - 50 = 0.