Найди объём правильной треугольной пирамиды , если ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов, а апофема равна 2 корень из 15 дм.

Дана пирамида SABC. SO - это высота пирамиды Н. Апофема SD = 2√15. Угол SBO = 45 градусов.

Пусть проекция апофемы на основание равна х, тогда проекция бокового ребра и высота Н равны 2х.

Из прямоугольного треугольника BOS находим:

SD² = x² + (2x)².

60 = 5x².

x = √(60/5) = √12 = 2√3. Высота пирамиды Н = 2х = 4√3.

Высота основания ВД = 3х = 6√3.

Сторона основания а = ВД/cos 30° =  6√3/(√3/2= 12.

Площадь основания So =a²√3/4 = 144√3/4 = 36√3.

Ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*36√3*4√3 = 144 куб.ед.