Доказать неприводимость над полем $mathbb{Q}$ многочлена
$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ по критерию Эйзенштейна

Ответ

Автор - igorShap

Если $f(x)$ приводим над $Q$ , то $f(x+1)$ также приводим над $Q$

( $ain Q=>(a+1)in Q\ anotin Q=> (a+1)notin Q$ )

$f(x+1)=(x+1)^6+...+(x+1)+1=dfrac{1*((x+1)^7-1)}{x+1-1}=dfrac{(x+1)^7-1}{x}=dfrac{C_7^0x^7+C_7^1x^6+...+C_7^6x+C_7^7-1}{x}=C_7^0x^6+C_7^1x^5+...+C_7^6\ C_7^k=dfrac{7!}{(7-k)!k!}=>forall k=overline{1,6}: ::C_7^k :vdots :7;::C_7^0=dfrac{7!}{7!0!}=1=>HOD(C_7^0;7)=1\ C_7^6=dfrac{7!}{6!1!}=7,:7^2=49,:HOD(C_7^6;49)=1$

То есть существует неприводимый над Q элемент, равный 7, удовлетворяющий критерию Эйзенштейна для f(x+1). Значит f(x+1) неприводим над Q. Тогда и f(x) неприводим над Q.

Доказано.

Доказать неприводимость над полем многочлена по критерию Эйзенштейна

Ответ

Доказать неприводимость над полем $mathbb{Q}$ многочлена
$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ по критерию Эйзенштейна