Автор - valyadj 6 лет назад

многочлен с целыми коэффициентами
называется хорошим если наибольшим общий делитель его коэффициентов равен
1) докажите что произведение двух хороших многочленов снова является хорошим много членом

Ответ

Автор - igorShap

Пусть $f(x)=sum_{i=0}^nf_ix^i,:g(x)=sum_{i=0}^mg_ix^i, (f_nneq0, g_mneq0)$ - хорошие.

Пусть $h(x)=f(x)g(x)=sum_{i=0}^{n+m}h_ix^i$ не хороший. Тогда, по определению, существует такое простое число $p$ , которое нацело делит все $h_i$ . По определению $p$ не может делить все $f_i$ и $g_i$ .

Пусть минимальные по номеру коэффициенты многочленов $f(x),:g(x)$ , не делящиеся на $p$ , равны $f_k, g_l$ .

$h_{k+l}=sum_{i=0}^{k-1}f_ig_{k+l-i}+f_kg_l+sum_{i=k+1}^{k+l}f_ig_{k+l-i}$

$f_ivdots p: forall i<k=>sum_{i=0}^{k-1}f_ig_{k+l-i}vdots p \ g_{k+l-i}vdots p: forall i>k=>sum_{i=k+1}^{k+l}f_ig_{k+l-i}vdots p\ h_{k+l}vdots p$

Тогда $f_kg_l vdots p$ . Т.к. $p$ - простое, то хотя бы один из $f_k,:g_l$ кратен $p$ .

Противоречие с тем, что $f_k,:g_l$ не делятся на $p$ .

А значит $h(x)=f(x)g(x)=sum_{i=0}^{n+m}h_ix^i$ хороший.

Предыдущий вопрос Следующий вопрос

Ответы и объяснения

Сервис носит ознакомительный характер, вся информация, а в частности вопросы и ответы, которые задают и отвечают пользователи.

© 2026 Все права защищены Политика конфиденциальности Контакты