Найти расстояние между фокусами эллипсаtexfracx^216+fracy^225=1/tex

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

$dfrac{x^2}{4^2}+dfrac{y^2}{5^2}=1\\ dfrac{x^2}{5^2}+dfrac{y^2}{4^2}=1$

Здесь параметры a = 5 и b = 4.

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

a² = b² + c²

c² = a² - b² = 5² - 4² = 9

Откуда c = 3

Расстояние между фокусами: 2c = 2 * 3 = 6

Ответ

Проверено экспертом

Автор - genius20

Каноническое уравнение, задающее эллипс, выглядит так:

$dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1$

Перепишем уравнение эллипса, поменяв местами параметры $a$ и $b$ :

$dfrac{x^2}{25}+dfrac{y^2}{16}=1\\dfrac{x^2}{5^2}+dfrac{y^2}{4^2}=1$

При этом мы получим конгруэнтный эллипс, только повёрнутый в системе координат на 90° (конгруэнтность следует из симметричности канонического уравнения). Поэтому он будет иметь тот же эксцентриситет и то же фокальное расстояние.

Найдём эксцентриситет:

$e=sqrt{1-dfrac{4^2}{5^2}}=sqrt{1-dfrac{16}{25}}=sqrt{dfrac{9}{25}}=dfrac{3}{5}$