P (-4;3;-2)
Q (-8;3;2)
R (4;6;-2)
M (0;3;1)

Найти:
а) косинус угла между векторами PQ и PR
б)вычислить площадь треугольника PQR
в) вычислить объём пирамиды с вершинами в указанных ниже точках и вершины M на грань PQR

Ответ

Автор - ivanproh1

Даны точки: P (-4;3;-2), Q (-8;3;2)
, R (4;6;-2)
, M (0;3;1)

а) Вектор PQ{-4;0;4}, |PQ| = √(16+0+16) =4√2.

Вектор PR{8;3;0}, |PR| = √(64+9+0) =√73.

Cosα = (-32 +0+0)/(4√2√73) = -8/√146 ≈ - 2/3.

б) Spqr = (1/2)*PQ*PR*Sinα. Sinα = √(1-4/9) = √5/3.

Spqr = (1/2)*4√2*√73*√5/3 = 2*√730/3 ≈ 2*27/3 ≈ 18 ед² .

в) Vmpqr = (1/3)*Spqr*H. Н - расстояние от точки М(0;3;1) до плоскости PQR.

Найдем вектор нормали плоскости PQR:

| i j k |

|-4 0 4 |

| 8 3 0 | = -12i + 32j -12k => n{-12;32;12}.

Уравнение плоскости PQR:

-12(x-(-4))+32(y-3)+12(z-(-2)) = 0 => 3x-8y-96-3z+30=0 Это общее уравнение плоскости с коэффициентами А=3, В=-8, С=-3, D=30.

расстояние от точки М(0;3;1) до плоскости PQR рассчитывается по формуле:

d = (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) = (0-24-3+30)/√82 =3/√82≈ 1/3.

Vmpqr = (1/3)*18*1/3 = 2 ед³