Для каждого числа от 1 до 99 выписали сумму его цифр. Чему равна сумма всех выписанных чисел?

Будем считать, что числа начинаются с нуля - суммы это не изменит, а считать будет немного проще, кроме того, для однозначных чисел допишем вперед незначащий ноль.
Запишем числа в таблицу от 00 до 99:

Сложим отдельно сумму цифр, стоящих в разряде единиц, и сумму цифр, стоящих в разряде десятков.

1) Единицы:
в каждой строке числа оканчиваются на 0, 1, 2, ..., 9.
Сумма единиц в каждой строке 45, всего строк 10, следовательно, сумма 45 * 10 = 450

2) Десятки:
в каждом столбце числа начинаются на 0, 1, 2, ..., 9.
Сумма десятков в каждом столбце 45, всего столбцов 10, следовательно, сумма 45 * 10 = 450

Сумма всех цифр = 450 + 450 = 900