при каком условии система n-линейных уравнений при n-неизвестных имеет ненулевое решение?

Если определитель матрицы коэффициентов неоднородной системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное ненулевое решение ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и количество неизвестных равно количеству уравнений).

Если решений бесчисленно много, то  этот определитель равен нулю (ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы).

Если рассматривать однородную систему n линейных уравнений с n неизвестными , то она имеет ненулевое (нетривиальное) решение, когда определитель системы равен нулю (ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы).