помогите пожалуйста !!! решить задачу по контрольной по алгебре : Планируется изготовить металлическую ёмкость в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием , открытым верхом и вместимость 270 л . Найдите его измерения при условии, что затраты металла на его изготовление должны быть минимальными .

Ответ

Автор - Medved23

Ответ: два измерения ≈ 8,14, третье ≈ 4,07.

Объяснение: Вместимость - то же, что и объем.

Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле V = abc, где a,b,c - его измерения.

Так как основание - квадрат, то два измерения - пусть, к примеру, а и b, - равны ⇒ V = a²c. а²с = 270 ⇒ с = $frac{270}{a^2}$ .

Металл, очевидно, тратят на изготовление поверхности прямоугольного параллелепипеда. Площадь основания равна а². Площадь боковой грани равна $acdotfrac{270}{a^2} =frac{270}{a}$ . Боковых граней у нас 4, а основание - одно (Так как по условию верх открытый). Поэтому полная поверхность нашего параллелепипеда задается следующей функцией: $S(a)=a^2+4cdotfrac{270}{a} =a^2+frac{1080}{a}$ , где а > 0.

Найдем производную данной функции: $S'(a)=2a-frac{1080}{a^2} .$

Найдем критические точки функции:

$S'(a)=0;\2a-frac{1080}{a^2} =0;\2a^3=1080;\a^3=540Rightarrow a=sqrt[3]{540}approx8,14.\$

Точка а ≈ 8, 14 - точка минимума. Следовательно, при а ≈ 8,14 площадь поверхности параллелепипеда будет минимальной, и на него затратят минимальное кол-во металла.

b = a ≈ 8,14. Найдем величину c: $c = frac{270}{a^2} approxfrac{270}{8,14^2} approx4,07.$