А. и Б. играют в орлянку, делая по два броска за один кон: сначала А., за ним Б., затем следуют ещё два броска и так далее. Если при броске выпадает орёл, то бросавший забирает у второго игрока один пряник. Б. заметил, что монета несимметричная — вероятность выпадения орла чуть ниже, чем 0,5. Тогда Б. предложил изменить правила. Новые правила звучат так: • А. забирает пряник у Б., если при броске А. выпадает орёл; • Б. забирает пряник у А., если при броске Б. выпадет та же сторона монеты, какая перед этим выпала у А. Получит ли кто-нибудь преимущество от такого изменения правил?

Ответ:

Будет чаще выигрывать Б.

Пошаговое объяснение:

Есть четыре варианта розыгрышей кона:

• У А выпал орёл, и у Б выпал орёл – по новым правилам сначала А заберёт пряник у Б, потом Б заберёт пряник у А, и ничего не поменяется
• У А выпал орёл, у Б выпала решка – А забирает один пряник у Б
• У А выпала решка, у Б выпал орёл – ничего не происходит
• У А выпала решка, и у Б выпала решка –  Б забирает один пряник у А

Итак, что-то меняется, только если у Б выпала решка, при этом А побеждает, если ему выпадает орёл, и проигрывает, если ему выпадает решка. Поскольку по условию орёл выпадает реже решки, то А будет чаще отдавать пряник, чем получать его.

Пусть вероятность выпадения орла р.

По новым правилам - начинает всегда А и его вероятность выиграть пряник тоже равна

р < 0.5

Б согласно новым правилам выиграет пряник если два раза выпадет орел -р^2

Или если два раза решка - (1-р)^2

F (p ) = р^2 + (1-р)^2 = 2р^2 - 2р + 1

F'(p) = 4p-2 = 0

Минимум этой функции при р = 0.5

и равен

F(0.5)= 0.5

Значит при любых р не равных половине F(p) > 0.5 > р и игрок Б начнет выигрывать ценные пряники.