Существуют ли различные простые числа m, n такие что m!+m делится на n!+n?

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Olga8128

Ответ: нет, не существуют.

Решение:

Представим, что такие числа $m$ и $n$ существуют!

В числах $m!+m$ и $n!+n$ вынесем общий множитель за скобки и получим $m((m-1)!+1)$ и $n((n-1)!+1)$ . И понятно, что $m>n$ . И первое из этих чисел должно делиться на второе. Но $m$ - простое и делиться ни на что из этого не может.

Тогда $(m-1)!+1$ делится на $n!+n$ . Из чего делаем вывод, что $n!+n-1$ - число-факториал.

Но $n!+n-1=n(n-1)... cdot 2 cdot 1+n-1<(n+1)!$ (если $n$ простое натуральное). И указанное число факториалом быть не может.

Но тогда такие простые числа $m$ и $n$ не существуют!