В треугольнике АВС угол А тупой, АА1 - высота треугольника, Н - точка пересечения высот. На стороне ВС, как на диаметре построена полуокружность, которая пересекает луч А1А в точке М. Найдите АН, если АА1 =8 МА1=12

 Высота из острого угла С проходит вне тупоугольного треугольника АВС и пересекает продолжение стороны ВА в т.К. По условию ВС - диаметр полуокружности, угол ВКС прямой (ВК - высота), следовательно, вписанный.  Прямоугольные треугольники НАК и НА1С подобны по общему углу Н. Из их подобия следует НК:НА1=АН:НС. ⇒ АН•НА1=НК•НС Дополним  полуокружность до полной и продлим НА1 до пересечения с ней в точке Р.

По теореме о секущих НМ•НР=НК•НС. НМ=АН-АМ а  АМ=МА1-АА1=12-8=4. ⇒ НМ=АН-4. Хорда МР перпендикулярна диаметру ВС, поэтому делится им пополам. А1Р=МА1=12, и  АР=АА1+А1Р=20.  Следовательно, НК•НС=НМ•НР=(АН-4)•(АН+20), из чего получим НК•НС=АН²+16 АН-80  Так как АА1=8, то  НА1= 8+АН. Подставив найденное в АН•НА1=НК•НС , получим  АН•(8+АН)=АН²+16 АН-80, откуда 8АН+АН²=АН²+16АН-80. ⇒ 8АН=80, ⇒ АН=10.