Решить систему в рациональных числах. x^4+y^4+z^4+m^4=4*x*y*z*m+2z-1 cos(x^5+y^5-z^5-m^5)=2z+sin^2(x+y+z-3*m)

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Матов

Довольно все искусственно выглядит , попробуем так
$x^4+y^4+z^4+m^4=4xyzm+2z-1\ cos(x^5+y^5-z^5-m^5)=2z+sin^2(x+y+z-3m)\\ $
заметим неравенство
$frac{x^4+y^4+z^4+m^4}{4} geq sqrt[4]{x^4m^4y^4z^4 } = xyzm$
то есть $x^4+y^4+z^4+m^4 geq 4yzm$
последнее выполняется когда $x=y=z=m$
предположим что числа все разные , для не потери общности
$x >y > z>m$
пусть $x^5+y^5-z^5-m^5=a\ x+y+z-3m=b\ z=frac{cosa-sin^2b}{2}$
отсюда следует что, после анализа на экстремум получим $f_{min} = -1$ $f_{max}=frac{1}{2}$
$-1 leq z leq frac{1}{2} \ $
но с учетом первого равенство , получим что нет таких чисел что выполнялось бы равенство , значит $x=y=z=m\ 4x^4=4x^4+2x-1\ x=frac{1}{2}$
$x=m=z=y=frac{1}{2}$

Решить систему в рациональных числах.
x^4+y^4+z^4+m^4=4xy*zm+2z-1
cos(x^5+y^5-z^5-m^5)=2z+sin^2(x+y+z-3m)

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения