10 - 11 классы



В прямоугольном треугольнике с катетами 36 и 48 на гипотенузе взята точка. Из нее проведены прямые, параллельные катетам. Получится прямоугольник, вписанный в данный треугольник. Где на гипотенузе надо взять точку, чтобы площадь такого прямоугольника была наибольшей?

Відповідь:

Пусть АВС- прямоугольный треугольник, катеты АВ = 36 см, АС = 48 см, ВС - гипотенуза.

Пусть D - точка на гипотенузе ВС. DE - отрезок, параллельный катету АВ (точка Е на стороне АС) , DF - отрезок, параллельный катету АС (точка F на стороне АВ) .

Нужно найти точку D, чтобы S - площадь прямоугольника AFDE была наибольшей.

Обозначим ЕС через Х, DE через Y.

Треугольники АВС и EDC подобны, Y/X = DE/EC = AB/AC = 36/48 = 3/4, то есть Y = (3/4)*X.

S = (48 - X)*Y = (48 - X)*(3/4)*X = (3/4)*(48*X - X^2) = (3/4)*(24^2 - 24^2 + 2*24*X - X^2) = (3/4)*(24^2 - (24 - X)^2).

Максимальное значение площадь прямоугольника достигает при Х = 24 см, то есть ЕС - половина катета АС.

Из подобия треугольников АВС и EDC следует, что отрезок DC - половина сгипотенузы ВС.

Точка D, при которой площадь прямоугольника AFDE наибольшая, середина гиптенузы ВС.

Пояснення: