Отношение отрезков стороны, образованных отрезком от противоположной вершины к этой стороне:

равно ли отношение соответственных площадей образованных треугольников?

Пусть в треугольнике АВС отрезок ВD, проведенный из вершины В к стороне АС, делит последнюю на отрезки в отношении, допустим 3:5. То есть АD=3х, DC=5х.
Площадь треугольника АВD равна Sabd=(1/2)*ВН*АD, а площадь треугольника DBC равна
Sdbc=(1/2)*ВН*DC.  (ВН - высота обоих треугольников).
Тогда отношение площадей S1 и S2 равно Sabd/Sdbc = [(1/2)*ВН*АD]/[(1/2)*ВН*DC] = 3/5.
Что и требовалось доказать.