Высота правильной трехугольной пирамиды в 2 раза больше, чем сторона основания. Найдите двукратный угол при боковом ребре.

Примем сторону основания за a = 1, высоту за H = 2.

Высота h основания равна: h = a(√3/2) = √3/2.

Проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h = (2/3)*(√3/2) = √3/3. Отсюда находим боковое ребро L:

L = √(((2/3)h)² + H²) = √((3/9) + 4) = √(13/3).

Находим апофему А:

A = √(L² - (a/2)²) = √((13/3) - (1/4)) = √(52 - 3)/12) = 7/(2√3).

Площадь боковой грани Sбг = (1/2)aA = (1/2)*1*(7/(2√3)) = 7/(4√3)).

Высота hбр из вершины основания к боковому ребру равна:

hбр = 2S/L = (2*(7/(4√3)))/√(13/3) = 7/(2√13).

Отсюда можно определить искомый двугранный угол при боковом ребре как плоский угол δ между двумя перпендикулярами к боковому ребру.

cos δ = ((hбр)² + (hбр)² - a²)/(2*(hбр)*(hбр)) = ((2*49)/(4*13) - 1)/(2*49/13) = 23/49.

δ = arccos(23/49) = 1,0822  радиан = 62,0054 градуса.