Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=√x, x0=1

Ответ

Автор - Vopoxov

Ответ:

$y = frac{x}{2} + frac{1}{2}$

Пошаговое объяснение:

Касательной будет прямая

у = kx + b

где k - равен значению производной в точке касания.

1) f(x) = √(x); x0 = 1 =>

=> y(x0) = y(1) = √1 = 1

То есть точка касания имеет координаты (1;1)

2) Найдем f'(x)

$f'(x) = ( sqrt{x}) ' = (x {}^{ frac{1}{2} } ) ' \ f'(x) = frac{1}{2} times {x}^{ frac{1}{2} - 1} = frac{1}{2 sqrt{x} }$

3) Найдем f'(x0)

$f'(x_{0}) = : f'({1}) \ f'(x_{0}) = frac{1}{2 sqrt{x_{0}} } = frac{1}{2 sqrt{1} } = frac{1}{2}$

4) То есть уравнение касательной будет вида

$y = frac{x}{2} + b$

Так

Т к. прямая касается графика ф-ии в точке (1;1), получаем:

$y = frac{x}{2} + b \ y(1) = 1 = > frac{1}{2} + b = 1 = > b = 1 - frac{1}{2} \ = > b = frac{1}{2}$

а значит уравнение касательной будет таким:

$y = kx + b; \ k = frac{1}{2}; : : b = frac{1}{2} \ \ y = frac{x}{2} + frac{1}{2}$