Изобразите на координатной плоскости множество всех точек (x,y), удовлетворяющих условие $x^2=y+sqrt(y+x)$

Ответ

Автор - Guerrino

$x^{2}=y+sqrt{y+x}$

Понятно, что $y+xgeq 0$ и $y+sqrt{y+x}geq 0$ . С учетом этого: $x=pmsqrt{y+sqrt{y+x}$ . Рассмотрим два случая:

1) $x>0$ . Тогда $x=sqrt{y+sqrt{y+x}$ . Теперь можно пойти двумя путями: положить $f(x)=sqrt{y+x}$ и заметить, что уравнение равносильно $f(f(x))=x$ , что можно решить из соображений монотонности. Или переписать (остановимся на этом варианте - он интуитивно проще и понятней): $x=sqrt{y+sqrt{y+sqrt{y+...}}}$ - просто заменяя x на само себя в правой части. Надо сказать, что оправданность такого перехода лежит на плечах тех же соображений, которые используются в первом методе. Можно перейти к уравнению-следствию: $x^{2}-y=xLeftrightarrow y=x^{2}-x$ ;

2) $xleq 0$

В таком случае $x=-sqrt{y+sqrt{y+x}}$ ; Можно действовать подобно предыдущим преобразованиям, получим: $x=-sqrt{y+sqrt{y-sqrt{y+sqrt{y-...}}}}$ ; Обозначим $f=sqrt{y+sqrt{y-...}},; g=sqrt{y-sqrt{y+...}}$ ; Имеем систему уравнений $left { {{f^{2}=g+y} atop {g^{2}=y-f}} right.Rightarrow left { {{f^{2}=g+y} atop {f^{2}-g^{2}=g+f}} right. Rightarrow left { {{f^{2}=y+g} atop {(f+g)(f-g-1)=0}} right.$ ; Итак, $f=g+1$ ; Тем самым $f^{2}=y+f-1Leftrightarrow f^{2}-f+1-y=0$ ; Решая это уравнение и переходя обратно к замене, получаем $-x=frac{1+sqrt{4y-3}}{2}Rightarrow y=x^{2}-x+1$ ;

Теперь строим все случаи и исключаем точки, которые не удовлетворяют неравенствам.

Итог на картинке