В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены высоты AD и CE, пересекающиеся в точке Q.
Докажите , что около BEQD можно описать окружность.

  Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника.

В четырехугольнике BEQD проведем диагональ ВQ, которая является общей гипотенузой треугольников DEQ  и BDQ.  Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы и равен её половине.  Следовательно ,для  прямоугольных треугольников ВEQ и BDQ описанная окружность будет  общей и описанной около четырехугольника BEQD.  Доказано.

                    *   *   *

  Решение этой задачи  может опираться на теорему  о четырехугольнике, около которого описана окружность. Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.  Два противоположных угла прямые, их сумма 180°, следовательно, сумма ∠В+∠Q=180° ⇒ около четырехугольника BEQD можно описать окружность.