Разложить многочлен на линейные множители, если известен один корень z0

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

Если известен один комплексный корень многочлена $z_0=2+3i$ , то известен и второй корень, сопряжённый ему, это будет $z_1=2-3i$ . Значит в разложении на линейные множители многочлена p(z) будут присутствовать такие множители :

$(z-(2+3i))cdot (z-(2-3i))=(z-2-3i)cdot (z-2+3i)=z^2-4z+13$

Разделим многочлен p(z) на многочлен $z^2-4z+13$ . Получим

$frac{z^4-9z^3+39z^2-89z+78}{z^2-4z+13}=z^2-5z+6\\z^2-5z+6=0; ; to ; ; z_2=2; ,; z_3=3; ; (teorema; Vieta); ; Rightarrow \\z^2-5z+6=(z-2)(z-3)$

Окончательно получим

$z^4-9z^3+39z^2-89z+78=(z-2-3i)(z-2+3i)(z-2)(z-3)$