помогите, пожалуйста, необходимо найти площадь криволинейной трапеции (с графиками)

Ответ

Проверено экспертом

Автор - dnepr1

Даны уравнения парабол: у = -х² + 6х - 9 и у = -х² - 4х - 4.

Если их преобразовать, выделив полные квадраты, то получим:

у = -(х - 3)² и у = -(х + 2)².

Точки х = -2 и х = 3 при у = 0 это координаты вершин парабол.

Найдём точку пересечения парабол:

-х² + 6х - 9 = -х² - 4х - 4.

10х = 5,

х = 5/10 = 1/2.

Отсюда искомая площадь разбивается на 2 участка: (-2; (1/2)) и ((1/2); 3).

Площадь равна сумме интегралов:

$S=intlimits^{1/2}_{-2} {(-x^2-4x-4)} , dx +intlimits^3_{1/2} {-x^2+6x-9} , dx =-frac{x^3}{3} -4*frac{x^2}{2} -9x|_{-2}^{1/2}}-frac{x^3}{3} +6*frac{x^2}{2} -9x|_{1/2}^3=frac{125}{12}.$