Даю 98 баллов решить систему: cosx+cosy=1 sinxsiny=3/4

Ответ

Проверено экспертом

Автор - nelle987

Решение 1

Преобразуем сумму в произведение по формуле

$cos x+cos y=2cosdfrac{x-y}2cosdfrac{x+y}2$

Попробуем получить что-нибудь похожее в правой части первого уравнения. Пригодятся формулы преобразования суммы косинусов в произведение и формула для косинуса двойного угла:

$sin xsin y=dfrac12left(cos(x-y)-cos(x+y)right)=dfrac12left(left(2cos^2dfrac{x-y}2-1right)-right.\left.-left(2cos^2dfrac{x+y}2-1right)right)=cos^2dfrac{x-y}2-cos^2dfrac{x+y}2$

Таким образом, если обозначить косинус полусуммы за s, а косинус полуразности за a, получится система

$begin{cases}2as=1\a^2-s^2=dfrac34end{cases}$

Из первого уравнения системы a = 1/(2s), подставляем во второе уравнение и после преобразований получаем биквадратное уравнение:

$1-4s^4=3s^2\4(s^2)^2+3s^2-1=0$

По теореме Виета угадываем, что $s^2=-1$ или $s^2=1/4$ ; первый вариант не даёт вещественных решений, из второго следует $s=pm1/2$ , тогда $a=pm1$ . Возвращаемся обратно к x и y:

1) s = 1/2, a = 1:

$begin{cases}cosdfrac{x+y}2=dfrac 12\cosdfrac{x-y}2=1end{cases}Leftrightarrowbegin{cases}x+y=pmdfrac{2pi}3+4pi n', n'inmathbb Z\x-y=4pi n'', n''inmathbb Zend{cases}Leftrightarrow\Leftrightarrowbegin{cases}x=pmdfrac{pi}3+2pi (n'+n'')\y=pmdfrac{pi}3+2pi (n'-n'')end{cases}, n', n''inmathbb Z$

2) s = -1/2, a = -1:

$begin{cases}cosdfrac{x+y}2=-dfrac 12\cosdfrac{x-y}2=-1end{cases}Leftrightarrowbegin{cases}x+y=2pipmdfrac{2pi}3+4pi m', m'inmathbb Z\x-y=2pi+4pi m'', m''inmathbb Zend{cases}Leftrightarrow\Leftrightarrowbegin{cases}x=2pipmdfrac{pi}3+2pi (m'+m'')\y=pmdfrac{pi}3+2pi (m'-m'')end{cases}, m', m''inmathbb Z$

Можно переписать все полученные решения в виде

$left(pmdfracpi3+2pi n,pmdfracpi3+2pi mright)$ , где $n,minmathbb Z$ .

Решение 2

Возведём второе уравнение в квадрат, применим основное тригонометрическое тождество:

$(1-cos^2x)(1-cos^2y)=dfrac9{16}\(1-cos x)(1+cos x)(1-cos y)(1+cos y)=dfrac9{16}$

Из первого уравнения сумма косинусов 1, так что 1 - один косинус = другой косинус.

$cos xcos y (1+cos x)(1+cos y)=dfrac{9}{16}\cos xcos y(1+cos x+cos y+cos xcos y)=dfrac9{16}\cos xcos y(2+cos xcos y)=dfrac9{16}$

Получилось квадратное уравнение на cos x cos y, его корни -9/4 и 1/4. Произведение косинусов по модулю не больше 1, так что единственный вариант cos x cos y = 1/4. Совместно с cos x + cos y = 1 получаем, что соs x = cos y = 1/2, откуда $x=pmpi/3+2pi n$ , $y=pm pi/3+2pi m$ , $n,min mathbb Z$ , знаки + и - выбираются независимо.

В этом решении был неравносильный переход при возведении в квадрат, могли появиться посторонние решения. Подставляя в исходную систему, получаем, что $sin xsin y=3/4$ , только если в обоих значениях выбрать одинаковые знаки.

Ответ

$left(pmdfracpi3+2pi n,pmdfracpi3+2pi mright)$ , где $n,minmathbb Z$