Известно,что при любом n сумма n первых членов некоторой числовой последовательности (Un) выражается формулой Sn+n^2+2n/ Найдите девятый член этой последовательности и доказать, что (Un) является арифметической прогрессией.

Ответ: 19.

Объяснение: найдем первый член последовательности: 1² + 2 × 1 = 3.

Сумма двух первых членов равна 2² + 2×2 = 8. Тогда второй член равен 8 - 3 = 5.

Сумма трех первых членов: 3² + 2 × 3 = 15. Тогда третий член равен 15 - 5 - 3 = 7.

Заметим, что каждый новый член отличается от предыдущего ровно на 2 единицы: u1 = 3, u2 = 3 + 2 = 5, u3 = 5 + 2 = 7. Тогда последовательность Un - арифметическая прогрессия с разностью d = 2, что и требовалось доказать.

По формуле общего члена арифм. прогрессии найдем девятым член:

u9 = u1 + 8d = 3 + 8 × 2 = 19.