(100 баллов) Составить неявные и параметрические уравнения плоскости, проходящей через точки С( 1; 1; 3), A(3; 2; 1), B(2; 4; 6).

Ответ

Автор - isburenkov

Ответ:

Параметрические уравнения:

$x = 3 - s - 2t$

$y = 2 +2s - 1t$

$z = 1 +5s + 2t$

Неявное уравнение:

$9x-8y+5z=16$

Пошаговое объяснение:

Параметрическое уравнение

Вектор $vec{c}$ :

$C-A$

$left(begin{array}{ccc}1\1\3end{array}right) - left(begin{array}{ccc}3\2\1end{array}right) = left(begin{array}{ccc}-2\-1\2end{array}right)$

Вектор $vec{b}$ :

$B-A$

$left(begin{array}{ccc}2\4\6end{array}right) - left(begin{array}{ccc}3\2\1end{array}right) = left(begin{array}{ccc}-1\2\5end{array}right)$

Берём, скажем, точку $A$ как отправную, и размножаем векторы $vec{b}$ и $vec{c}$ , используя параметры $s$ и $t$ :

$vec{r}=A+vec{b}cdot s+vec{c}cdot t = left(begin{array}{ccc}3\2\1end{array}right) + left(begin{array}{ccc}-1\2\5end{array}right)cdot s + left(begin{array}{ccc}-2\-1\2end{array}right)cdot t$

Отсюда параметрические уравнения:

$x = 3 - s - 2t$

$y = 2 +2s - 1t$

$z = 1 +5s + 2t$

Неявное уравнение

В уравнении $Ax+By+Cz=D$ коэффициенты A, B, C - это координаты вектора нормали, а D - коэффициент, сдвигающий плоскость, задаваемую вектором нормали, так, чтобы плоскость содержала в себе одну из точек из условия.

Найдём вектор нормали как векторное произведение векторов $vec{b}$ и $vec{с}$ :

$left|begin{array}{ccc}-1&2&5\-2&-1&2\i&j&kend{array}right| = left|begin{array}{ccc}-1&2\-2&-1end{array}right|k - left|begin{array}{ccc}-1&5\-2&2end{array}right|j + left|begin{array}{ccc}2&5\-1&2end{array}right| i = 9i -8j+5k$

Итого

$vec{n}=left(begin{array}{ccc}9\-8\5end{array}right)$

Предварительный вид неявного уравнения:

$9x-8y+5z=D$

Найдём D, подставив какую-нибудь из точек из условия, скажем, С:

$9cdot 1-8cdot 1+5cdot 3=9-8+15=16$

Итого:

$9x-8y+5z=16$