Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=9 и MB=12. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку С, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

∠ACD =∪AC/2 =∠ABC (угол между касательной и хордой)

△ACD~△CBD (по двум углам, ∠D - общий)

AC/CB =CD/BD =AD/CD

AC/CB =AM/MB =9/12 =3/4 (по теореме о биссектрисе)

BD=4/3 CD, AD=3/4 CD

BD-AD=AB => 4/3 CD -3/4 CD =21 <=> CD=21*12/7 =36

Или

∠ACD =∪AC/2 =∠B =>

∠DCM =∠ACD+∠C/2 =∠B+∠C/2 =∠DMC

△CDM - равнобедренный, DC=DM

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

DC^2 =DB*DA

DA=DM-AM, DB=DM+MB

DC^2 =(DC+MB)(DC-AM) <=>

DC^2 =DC^2 +MB*DC -AM*DC -AM*MB <=>

DC=AM*MB/(MB-AM) =9*12/(12-9) =36