Кути трикутника дорівнюють 15° , 60° і 105°, а радіус кола, описаного навколо цього трикутника, дорівнює 40 см. Знайдіть площу трикутника. Результат округліть до десятих.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

Воспользуемся теоремой синусов.

$frac{a}{sin105^circ }=frac{b}{sin15^circ }=2R\\b=2Rcdot sin15^circ =2cdot 40cdot frac{sqrt3-1}{2sqrt2}=frac{40cdot (sqrt 3-1)}{sqrt2}; ,\\a=2Rcdot sin105^circ =2Rcdot sin(90^circ +15^circ )=2Rcdot cos15^circ =\\=2cdot 40cdot frac{sqrt3+1}{2sqrt2}=frac{40cdot (sqrt3+1)}{sqrt2}; ,\\S=frac{1}{2}cdot abcdot sin60^circ =frac{1}{2}cdot frac{40cdot (sqrt3-1)}{sqrt2}cdot frac{40cdot (sqrt3+1)}{sqrt2}cdot frac{sqrt3}{2}=\\=200cdot (3-1)cdot sqrt3=400sqrt3$

$P.S.; ; sin15^circ =sin(45-30)=sin45cdot cos15-sin30cdot cos45=\\=frac{1}{sqrt2}cdot frac{sqrt3}{2}-frac{1}{2}cdot frac{1}{sqrt2}=frac{sqrt3-1}{2sqrt2}\\cos15^circ =cos(45^circ -30^circ )=frac{sqrt3+1}{2sqrt2}$