Помогите пожалуйста 613. 617

Ответ

Автор - Nekit455

613. Сторона правильного n-угольника равна a. Вычислите площадь описанного около него и вписанного в него круга, если n = 3; 4; 6

1) n = 3 - правильный треугольник.

Существует формула для нахождения радиуса описанной окружности около правильного треугольника:

a₃ = R√3

Так как нам сторона дана в буквенном значении, получаем

$displaystylett R=frac{a}{sqrt{3}}$

Найдем площадь описанной окружности из формулы

S = πR²

$displaystylett S_O=picdotBig(frac{a}{sqrt{3}}Big)^2=frac{pi a^2}{3}$

Для всех окружностей, вписанных в правильный n-угольник, формула нахождения их радиуса одинакова:

$displaystylett r=Rcosfrac{180^circ}{n} \\\r=frac{a}{sqrt{3}}cosfrac{180^circ}{3}=frac{a}{sqrt{3}} cdotfrac{1}{2} =frac{a}{2sqrt{3}}$

Тогда площадь вписанной окружности равна

$displaystylett S_B=picdotBig(frac{a}{2sqrt{3}}Big)^2=frac{pi a^2}{12}$

$displaystylett OTBET:~S_O=frac{pi a^2}{3};~S_B=frac{pi a^2}{12}$

2) n = 4 - квадрат

Формула для нахождения радиуса описанной окружности около квадрата:

a₄ = R√2

$displaystylett R=frac{a}{sqrt{2}}$

$displaystylett S_O=picdotBig(frac{a}{sqrt{2}}Big)^2=frac{pi a^2}{2}$

$displaystylett r=frac{a}{sqrt{2}}cosfrac{180^circ}{4}=frac{a}{sqrt{2}}cdotfrac{sqrt{2}}{2}=frac{a}{2}$

$displaystylett S_B=picdotBig(frac{a}{2}Big)^2=frac{pi a^2}{4}$

$displaystylett OTBET:~S_O=frac{pi a^2}{2};~S_B=frac{pi a^2}{4}$

3) n = 6 - правильный шестиугольник

Формула для нахождения радиуса описанной окружности около правильного шестиугольника:

a₆ = R

R = a

$displaystylett S_O=pi a^2$

$displaystylett r=acdot cosfrac{180^circ}{6}=acdotfrac{sqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{2}$

$displaystylett S_B=picdotBig(frac{asqrt{3}}{2}Big)^2=frac{3pi a^2}{4}$

$displaystylett OTBET:~S_O=pi a^2;~S_B=frac{3pi a^2}{4}$

617. Вычислите площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями, указанными в задаче 613

Решение:

1) вычислим площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями для правильного треугольника

Для этого вычтем из площади описанной окружности площадь вписанной

$displaystylett S_k=frac{pi a^2}{3} -frac{pi a^2}{12}=frac{4pi a^2-pi a^2}{12} =frac{3pi a^2}{12}=frac{pi a^2}{4}$

2) вычислим площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями для квадрата

$displaystylett S_k=frac{pi a^2}{2}-frac{pi a^2}{4}=frac{2pi a^2-pi a^2}{4} =frac{pi a^2}{4}$

3) вычислим площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями для правильного шестиугольника

$displaystylett S_k=pi a^2-frac{3pi a^2}{4}=frac{4pi a^2-3pi a^2}{4} =frac{pi a^2}{4}$