6. Может ли квадратное уравнение ax2+bx+c=0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный 27?

Предположим, что может.

 b²-4ac=27;  4ac=b²-27;  Выражение справа делится на 4, значит, должно делиться на 4 и выражение b²-24-3.

-24 делится на 4, осталось выяснить, делится ли  в²-3 на 4

Очевидно, что b должно быть нечетным, т. е. иметь вид b=2n+1, т.к. если от четного отнять 3, то получим нечетное, а оно не делится на 4.  

Подставим   (4n²+4n+1)-3=4n²+4n-2  =(4n²+4n)-2

Последнее выражение не делится на 4. Значит, предположение  - ложно.   И ни при каких целых a, b, c дискриминант квадратного уравнения не может быть равным 27.