Вычислить, используя формулу муавра

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Положим $z=1+isqrt{3}$ . Модуль комплексного числа: $|z|=sqrt{1^2+(sqrt{3})^2}=2$ ,тогда $z=2cdot left(dfrac{1}{2}+idfrac{sqrt{3}}{2}right)=2left(cos dfrac{pi}{3}+isindfrac{pi}{3}right)$

По формуле Муавра $z^{20}=2^{20}left(cos dfrac{20pi}{3}+isindfrac{20pi}{3}right)=2^{20}left(-dfrac{1}{2}+dfrac{sqrt{3}}{2}right)$

Аналогично, положим $a=1-i$ , тогда $|a|=sqrt{1^2+(-1)^2}=sqrt{2}$ , тогда $a=sqrt{2}left(dfrac{1}{sqrt{2}}-idfrac{1}{sqrt{2}}right)=sqrt{2}left(cosleft(-dfrac{pi}{4}right)+isinleft(-dfrac{pi}{4}right)right)$

Тогда по формуле Муавра

$a^{20}=2^{10}left(cos left(-dfrac{20pi}{4}right)+isinleft(-dfrac{20pi}{4}right)right)=2^{10}left(-1+0)=-2^{10}$

Окончательно получаем

$left(dfrac{1+isqrt{3}}{1-i}right)^{20}=dfrac{2^{20cdot left(-dfrac{1}{2}}+idfrac{sqrt{3}}{2}right)}{-2^{10}}=2^9left(1-isqrt{3}right)$

Вычислить, используя формулу Муавра

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения