Решите пожалуйста с использованием метода неопределённых коэффициентов

A1/(x+1) + A2/(x+1)^2 + A3/(x-1) + A4/(x-1)^2 + A5/(x-1)^3

Приводим к общему знаменателю (x+1)^2(x-1)^3. Числитель такой будет:

A1(x+1)(x-1)^3 + A2(x-1)^3 + A3(x+1)^2(x-1)^2 + A4(x+1)^2(x-1) + A5(x+1)^2 =

= A1(x^4-2x^3+2x-1) + A2(x^3-3x^2+3x-1) + A3(x^4-2x^2+1) +

+ A4(x^3+x^2-x-1) + A5(x^2+2x+1) =

= x^4(A1+A3) + x^3(-2A1+A2+A4) + x^2(-3A2-2A3+A4+A5) + x(2A1+3A2-A4+2A5) + (-A1-A2+A3-A4+A5) = 5x^3+3

Коэф-ты при одинаковых степенях должны быть равны. Система:

{ A1+A3 = 0; x^4

{ - 2A1+A2+A4 = 5; x^3

{ - 3A2-2A3+A4+A5 = 0; x^2

{ 2A1+3A2-A4+2A5 = 0; x

{ - A1-A2+A3-A4+A5 = 3; 1

Я не буду расписывать эту систему, она достаточно простая. Решение системы:

A1 = - 3/2; A2 = 1/4; A3 = 3/2; A4 = 7/4; A5 = 2.

Подставляем в интеграл:

S (-3/2)/(x+1) dx + S (1/4)/(x+1)^2 dx + S (3/2)/(x-1) dx + S (7/4)/(x-1)^2 dx + S 2/(x-1)^3 dx =

= - 3/2*Ln |x+1| - 1/(4(x+1)) + 3/2*Ln |x-1| - 7/(4(x-1)) - 1/(x-1)^2 + C

Я специально написал логарифмы с большой буквы Ln, чтобы не путать букву l со знаком модуля |.