Найти высоту равнобедренного треугольника с боковой строной 12, имеющего наибольшую площадь.

Надо определить функцию площади от переменной, которой является сторона основания треугольника.

Примем её равной 2х.

Высота треугольника равна h = √(12² - x²) = √(144 - x²).

Площадь равна S = (1/2)*2x*√(144 - x²) = x√(144 - x²).

Найдём производную: y' = 1*√(144 - x²) - (x*x/√(144 - x²)).

Приведём к общему знаменателю:

y' = (144 - 2x²) /√(144 - x²). Приравняем нулю (числитель):

y' = 144 - x² = 0.  Отсюда х =√72 = 6√2.

Ответ: высота треугольника равна h = √(144 - 72) = √72 = 6√2.