Автор - jazzavto
Определим координаты точек пирамиды.
Пусть А(0; 0; 0), В(0; 8; 0), С(8; 8; 0) и D(8; 0; 0).
Высота вершины S не известна, примем её равной z.
Координаты вершины S(4; 4; z).
Точка L(6; 6; (z/2)), точка М(4; 4; -8).
Векторы: BL = (6; -2; (z/2)), модуль равен √(40 + (z²/4)).
AS = (4; 4; z), модуль равен √(32 + z²).
Начнём с угла между BL и SA (пусть он равен α).
По заданию tg α = 2√(2/3) = √(8/3).
Определим косинус этого угла (это между векторами BL и SA .
cos α = 1/(√(1 + tg²α) = 1/(√(1 + (8/3)) = √(3/11).
cos α = |a · b| / |a| · |b| = |6*4 + (-2)*4 + (z/2)*z| /(√(40 + (z²/4))*√(36 + z²)).
Приравняем эту дробь √(3/11) и после решения находим z = 4.
Теперь можно определить векторы MA и LD и угол между ними β.
Векторы: MA = (-4; -4; 8), модуль равен √96.
LD = (2; -6; -2), модуль равен √44.
cos β = (-4*2 - (-4)*(-6) + 8*(-2) / (√96*√44) = 0/(√96*√44) = 0.
Угол β = arc cos 0 = 90 градусов.
Доказано.