Вычислить неопределённый интеграл (x-1)/(x^2-2x+2)(фото с интегралом приложено)

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

$int frac{x-1}{x^2-2x+2}, dx=int frac{(x-1), dx}{(x-1)^2+1}=[; t=x-1; ,; dx=dt; ]=int frac{t, dt}{t^2+1}=\\=frac{1}{2}int frac{2t, dt}{t^2+1}=frac{1}{2}int frac{d(t^2+1)}{t^2+1}=frac{1}{2}cdot ln|t^2+1|+C=frac{1}{2}cdot ln(x^2-2x+2)+C$

Ответ

Автор - Guerrino

Перепишем подынтегральное выражение: $frac{x-1}{(x-1)^{2}+1}$ ; Сделав замену $u=x-1$ , перепишем интеграл: $int frac{u}{u^{2}+1}du$ ; Рассмотрим треугольник с катетами $u$ и 1 и гипотенузой $sqrt{u^{2}+1}$ ; Подынтегральное выражение теперь можно записать как $frac{utimes1}{sqrt{u^{2}+1}sqrt{u^{2}+1}} =frac{u}{sqrt{u^{2}+1}}times frac{1}{sqrt{u^{2}+1}}$ ; Или в терминах одного из углов того треугольника: $sinthetacostheta$ ; Осталось только переписать дифференциал через $theta$ . Имеем: $frac{u}{sqrt{u^{2}+1}}=sintheta,; theta=arcsin frac{u}{sqrt{u^{2}+1}}$ ; Откуда $frac{dtheta}{du}=frac{1}{1+u^{2}} =cos^{2}theta Leftrightarrow du=frac{dtheta}{cos^{2}theta}$ ; Получаем интеграл: $int sinthetacosthetafrac{dtheta}{cos^{2}theta}=int tantheta dtheta =-lncostheta+textbf{C}$ ; Замена к u: $-ln(cosarcsin( frac{u}{sqrt{u^{2}+1}}))=-ln(sqrt{frac{1}{u^{2}+1} })$ ; Наконец, замена к x: $-ln(sqrt{frac{1}{(x-1)^{2}+1} })=-frac{1}{2}ln(frac{1}{x^{2}-2x+2})=frac{1}{2}ln(x^{2}-2x+2)$

Ответ:

$frac{1}{2}ln(x^{2}-2x+2)+textbf{C}$