В правильной призме SABCD с вершиной S стороны основания равны 2, а боковые ребра 5. Найдите расстояние между прямыми AC и BM, М-середина ребра SD.

Ответ: √(46/41)

Объяснение:

1. Поиск искомого отрезка

1) BM ⊂ (BSD)

AC ∩ (BSD) = O

Проведём в ΔBMD из точки O перпендикуляр к BM

OH ⊥ BM

2) SO - высота пирамиды. Высота попадёт в точку O, так как пирамида правильная. SO ⊥ (BCD)

Проведём HN, HN || SO ⇒ HN ⊥ (BCD) ⇒ NO - проекция OH на (BCD)

3) HO - наклонная, NO - проекция, AC ⊂ (BCD)  ⇒ HO ⊥ AC (по теореме о трёх перпендикулярах)

Таким образом, HO - общий перпендикуляр к прямым AC и BM ⇒ расстояние между AC и BM равно HO

2. Нахождение длины отрезка

HO ⊂ (BSD). Найдём HO из ΔBSD.

1) MD = SD/2 = 5/2

Из ΔABD по теореме Пифагора BD = 2√2, OD = BD/2 = √2 (св-во диаг. квадрата).

Тогда из ΔSOD cos∠SDO = OD/SD = √2/5

2) По теореме косинусов в ΔBMD имеем:

BM² = BD² + MD² - 2BD * MD * cos∠SDO

BM² = 8 + 25/4 - 10√2 * √2/5

BM² = 8 + 25/4 - 4

BM² = 41/4

BM = √41/2

3) sin∠SDO = √(1 - cos²∠SDO) = √(1 - 2/25) = √23/5

SΔBMD = 1/2 * MD * BD * sin∠SDO = 1/2 * 5/2 * 2√2 * √23/5 = √46/2

SΔBMD = 1/2 * BM * KD  ⇒  KD = 2*SΔBMD : BM = 2*√46/2 : √41/2 = 2√46/√41

4) В ΔBKD  OH || KD, BO = OD  ⇒  HO - средняя линия ΔBKD  ⇒  HO = KD/2 = √46/√41