Для схемы, представленной на рис., определить как изменяется
сила тока I через катушку при замыкании ключа. Параметры цепи
обозначены на рисунке.
Дано: L = 0,025 Гн, С=0,5·10-6 Ф, R = 50 Ом, Ε = 10 В.
Найти: I(t).

Ответ:

I(t) = (0,2 + 0,0118 e-37889t- 0,2118 e-2111t), А

Объяснение:

Решение

Ищем решение в виде суммы принужденного и свободного значений.

    I = Iпр+ Iсв.

Рассчитав установившийся режим схемы (после коммутации), найдем

принужденное значение:

  iCпр = 0; Iпр = iRпр = Ε/R = 0,2 А.

Для определения свободной составляющей тока составим характери-

стическое уравнение цепи.

   p2LCR + pL + R = 0.

Подставив значения, получим

   6,25·10-7p2 + 0,025 p +50 = 0.

Это уравнение имеет действительные корни

   p1 = -37889 c-1, p2 = -2111 c-1.

Свободная составляющая решения имеет вид

   Iсв = А е-37889 t + B e-2111t.

Для определения постоянных интегрирования А и В запишем для

начального момента времени (после коммутации) выражение для тока I

 I(0) = Iпр(0) + Iсв(0) = 0,2 + А + В

и его производную

dI/dt |■(@t=0)=┤  (dI_пр)/dt |■(@t=0)+(dI_св)/(dt ) ├|■(@t=0)=0-37889A-2111B┤┤.

Согласно законам коммутации dI/dt |■(@t=0)=┤0. Получаем систему уравне-

ний                                  A + B = - 0,2

  -37889 A – 2111 В = 0.

Эта система имеет решение

  A = 0,0118 A, B=-0,2118 A.

Ток через индуктивность равен

  I(t) = (0,2 + 0,0118 e-37889t- 0,2118 e-2111t), А

Ответ: I(t) = (0,2 + 0,0118 e-37889t- 0,2118 e-2111t), А