Помогите решить дифф. уравнение первого порядка

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

Заданное дифференциальное уравнение - линейное дифф. уравнение 1 порядка относительно функции "х(у)", а "у" - переменная.

$(y+2)dx=(2x+y-4)dy\\frac{dx}{dy}=frac{2x+y-4}{y+2}; ,; ; x'=frac{2x}{y+2}+frac{y-4}{y+2}\\x'-frac{2x}{y+2}=frac{y-4}{y+2}; ; ,\\x=x(y); ,; ; x=uv; ,; ; x'=u'v+uv'\\u'v+uv'-frac{2uv}{y+2}=frac{y-4}{y+2}\\u'v+ucdot (v'-frac{2v}{y+2})= frac{y-4}{y+2}\\a); ; frac{dv}{dy}=frac{2v}{y+2}; ,; ; int frac{dv}{v}=2int frac{dy}{y+2}; ,; ; ln|v|=2cdot ln|y+2|; ,\\v=(y+2)^2\\b); ; u'cdot (y+2)^2=frac{y-4}{y+2}; ,\\int du=int frac{y-4}{(y+2)^3}, dy$

$int frac{y-4}{(y+2)^3}, dy=[; t=y+2; ,; ; y=t-2; ,; ; dy=dt; ]=int frac{t-6}{t^3}, dt=\\=int (frac{1}{t^2}-frac{6}{t^3}), dt=frac{t^{-1}}{-1}-frac{6t^{-2}}{-2}+C=-frac{1}{t}+frac{3}{t^2}+C=-frac{1}{y+2}+frac{3}{(y+2)^2}+C\\u=-frac{1}{y+2}+frac{3}{(y+2)^2}+C\\c); ; x=(y+2)^2cdot (-frac{1}{y+2}+frac{3}{(y+2)^2}+C)\\x=-(y+2)+3+C, (y+2)^2\\underline {x=1-y+C, (y+2)^2}$